Le magazine Stéréo Prestige & Image recrute un/e Secrétaire de rédaction qui connaitrait les maths et le binaire !

Dans le dernier numéro de Stéréo Prestige & Image (mai 2012) est paru un article intitulé "Questions/réponses autour du numérique".

S’il vous arrive encore de lire la presse Hi-Fi papier, la lecture de cet article n’est pas inutile.

En ce qui nous concerne, certaines des assertions de l'article, telles que celles retranscrites ci-dessous, nous semblent susceptibles de jeter la suspicion sur tous les acteurs du marché de la musique en ligne, y compris Qobuz - ce qui nous ennuie plus qu'un peu. Soyons sérieux.

"Enfin, de plus en plus de services de musique en ligne proposent des flux en 24 bits/96 kHz, mais ont-ils vraiment accès à l’enregistrement original en 24 bits/96 kHz ?"

Pour notre part, nous, Qobuz, répondons sans l’once d’une hésitation : oui !

Ou encore, celles-ci, qui clôturent cet article :

"Ainsi, les principaux acteurs du streaming tels que Qobuz, Spotify ou même Deezer proposent diverses formules d’abonnement offrant, en fonction du budget qui leur est alloué, soit une qualité de base en MP3, soit des formats nettement plus évolués dits "lossless".
Nous aurons l’occasion d’en parler plus en détail, pratiquement, dans notre prochain numéro car, pour l’instant, nous effectuons de vraies évaluations entre ces téléchargements et la lecture de CD correspondants… à ces dits téléchargements."

D’autres que Stéréo Prestige & Image effectueraient-ils de fausses évaluations ? Pourrait-il y avoir tromperie ? Pas chez Qobuz, en tout cas !

Toutefois, il est intéressant de relever que cet article d’Henri-Pierre Penel, avec lequel j’ai eu le plaisir de travailler personnellement pendant quelques années, et dont je ne méconnais pas les grandes compétences, comporte une grossière erreur relative au calcul de la dynamique d’un CD (donc sur 16 bits, et qui a également été extrapolée aux fichiers en 24 bits), erreur dont je suis fortement surpris qu'une signature de la qualité de celle d’Henri Pierre Penel puisse être l'auteur.

Il est écrit dans cet article que la dynamique du CD est 20 x log (65 536 / 2), soit 90,3 dB. Or, j’ai toujours entendu dire que celle-ci est de 96 dB (en fait environ 96,33 dB), et, d’autre part, je sais le démontrer.

Pour comprendre l’origine de cette erreur, voici ce qu’a écrit Henri-Pierre Penel :

"En effet, pour la tension, exprimer la dynamique en décibels se résume à 20 fois le logarithme décimal de la plus forte valeur sur la plus faible (20 x log Vmax/Vmin ). Comme sur 1 seul bit, donc la variation minimale de tension que peut exprimer le CD audio, on code deux états, 1 ou 0, la valeur théorique de la dynamique du CD est ainsi de 20 x log (65 536 /2). Toute calculette scientifique fournira aisément le résultat à savoir 90,3 dB."

Mais, voilà, en effet, avec 16 bits on code bien 65 536 valeurs, celles-ci s’échelonnant entre 0 (tous les bits de 2⁰ à 2¹⁵ à 0) et 65 535 (tous les bits de 2⁰ à 2¹⁵ à 1), ce qui donne bien 65 536 valeurs différentes (qui sont dites "discrètes" car il n'y a pas de continuité entre elles) et chacune de ces valeurs correspond à un "échelon" ou "pas" de tension allant croissant avec le "poids" des bits (l'exposant de 2).

Donc, si l’on part d’une tension valant Vmax, le plus petit de ces pas, c’est-à-dire la plus petite tension (Vmin) que l’on puisse coder (hormis le zéro, mais cela n’aurait aucun sens et conduirait à une dynamique infinie) représente Vmax / 65 536 et non pas 65 536 / 2, comme l’a écrit Henri Pierre Penel, 2 étant les deux états du binaire.

Donc, Vmin = Vmax / 65 536.

Comme la dynamique s’exprime par 20 x log (Vmax / Vmin), sachant que Vmin = Vmax / 65 536, on obtient l'expression suivante pour cette dynamique :

20 x log [Vmax / (Vmax / 65 536)]

Cela donne comme résultat, puisque [Vmax /(Vmax / 65 536)] = 65 536, 20 x log 65 536, soit environ 96,33 dB et non 90,3 dB.

Maintenant, raisonnons d’une autre manière en restant exclusivement dans le domaine binaire, donc sans faire entrer en jeu les tensions minimum et maximum que l’on peut coder sur 16 bits.

En binaire, on sait que passer d’un bit au bit de poids supérieur suivant consiste à doubler la valeur (2⁰ = 1 -> 2¹ = 2 -> 2² = 4 -> 2³ = 8, -> 2⁴= 16, et ainsi de suite), ce qui représente à chaque fois un gain en dynamique de 20 x log 2 = 6,0206 dB, que l’on arrondit toujours en pratique à 6 dB.

Ainsi, à chaque fois que l’on ajoute un bit, on gagne 6 dB de dynamique.

Donc, avec 16 bits, on obtient comme dynamique 16 x 20 x log 2 = 16 x 6,0206 = 96,33 dB, exactement le même résultat que celui obtenu en raisonnant avec les tensions Vmax et Vmin, ce qui est tout à fait logique !

Par ailleurs, on peut écrire, comme la multiplication est commutative, que 16 x 20 x log 2 = 20 x 16 x log 2 .

D'autre part, en mathématiques, on démontre que log aⁿ = n x log a (avec n entier), donc 16 x log 2 = log 2¹⁶.

On en déduit que 20 x 16 x log 2 = 20 x log 2¹⁶ = 20 x log 65 536, soit le résultat obtenu en raisonnant avec les tensions Vmax et Vmin, ce qui, là encore, est tout à fait logique !

Notons aussi qu'il est écrit dans cet article :

"Reste que la loi de l' échantillonnage, dite loi de Shannon, est incontournable et s'applique au CD audio comme à tout autre dispositif basé sur l'échantillonnage d'un signal, voire à la fréquence porteuse d'une émission de radio ou d'un modem. Cette loi précise que le système ne peut pas reproduire,ou transporter, une fréquence supérieure à la valeur de la fréquence d'échantillonnage divisée par un facteur de 2,3."

Erreur là encore, puisque le facteur n'est pas de 2,3, mais de 2, comme cela est spécifié, entre autres, sur Wikipédia :

"Pour qu'un signal ne soit pas perturbé par l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la plus haute fréquence contenue dans le signal. Cette fréquence limite s'appelle la fréquence de Nyquist."

Faudra-t-il incriminer les moyens limités du magazine Stéréo Prestige & Image quant au secrétariat de rédaction ? La référence mensuelle de nombreux audiophiles, ce magazine, devrait mieux se relire. Mais surtout, allez, disons-le, ils ne semblent pas nous aimer beaucoup, dans ce magazine.